《測圓海鏡》的主要內容,《測圓海鏡》導讀

《測圓海鏡》原名《測圓海鏡細草》，是中國古代重要數學著作，現存最早的天元術著作，宋元數學高潮的代表作之一。元李冶1248年撰。李冶去世后不久即被刊刻，今已不存。目前所存最早抄本為元明間宋景濂(宋濂之字，1310—1381)所抄，清轉入丁杰手中，今藏北京圖書館。明代數學落后，數學家不能理解宋元的高深成就，顧應祥撰《測圓海鏡釋術》(1500)買櫝還珠，刪去該書中最精彩的列方程方法——天元術。清中葉李潢(?—1812)家藏一本，乾隆間由館臣抄錄，略加校勘，抄入《四庫全書》。18世紀末阮元(1764—1849)由《四庫全書》文瀾閣本抄得一部，嘉慶二年(1797)囑李銳將此本與丁杰藏本合校，保留了四庫館臣按，補充了新設四率及若干按語，次年由鮑廷博刻入《知不足齋叢書》，此后《白芙堂算學叢書》本、同文館集珍本、《古今算學叢書》本、《叢書集成(初編)》本均是《知不足齋叢書》本的翻刻本或排印本。

李冶(1192—1279)，字仁卿，號敬齋，原名李治，金元數學家、文學家、歷史學家，真定欒城(今河北省欒城縣)人，生于大興城(今北京市)。其父李遹，金明昌詞賦科進士，是能詩善畫博學多才的學者，且剛直不阿，為政清廉。李冶自幼受到良好的道德品質教養和深厚的傳統文化教養。金正大七年(1230)中詞賦科進士，任鈞州(今河南省禹縣)知事，時元與南宋聯合滅金，1232年元兵破城，李冶遂微服北渡，流落忻、崞(今山西省北部)間，開始了艱苦卓絕的學術生涯。他常“饑寒不能自存”，卻毫不介意，“聚書環堵”，從事數學及文史研究，完成《測圓海鏡》12卷。后來到太原、平定，經濟條件有所好轉。1251年回到少年求學的元氏縣封龍山隱居，主持封龍書院，1259年完成《益古演段》3卷。不管是流離頓挫，還是安定的隱居，他“未嘗一日廢其業，手不停披，口不絕誦，如是者幾五十年”，成為“經為通儒，文為名家，其名德雅望又為一時衣冠之龍門”的大學者。他與元好問、張德輝交往甚密，時人譽為龍山三老。忽必烈聞李冶賢，1257年5月在開平召見了他，李冶向忽必烈表達了進君子、退小人，主張任人唯賢，反對種族偏見，減刑罰，止征伐的政治主張，這就是有名的王庭對問。1260年，忽必烈即皇帝位，次年又在燕京(今北京)召見李冶，聘為翰林學士、知制誥、同修國史，但李冶具有獨立思想，且過慣了木石為居、麋鹿與游的田園生活，羞于作“翰林視草，唯天子命之，史館秉筆，以宰相監之”的御用文人，一年后便以老病為辭還山，直至1279年去世。李冶一生著述頗豐，有《敬齋古今黈》40卷(今存宗于明刻本的12卷本及由《永樂大典》輯錄的8卷本兩種)，表達了他對歷代詩文、歷史事件、人物品評、各種見聞以及修身養性等各方面的獨到見解;還有《壁書叢削》12卷、《文集》40卷，已失傳，《泛說》40卷，也失傳，只有個別條目附于《敬齋古今黈》。李冶臨終前對其子說：“吾平生著述，死后盡可燔去。獨《測圓海鏡》一書，雖九九小數，吾嘗精思致力焉，后世必有知者，庶可布廣垂永乎?”表明他最得意的還是《測圓海鏡》。在自序中，他論述了事、技、道的關系，指出圣人并不排斥事、技，批評了道學家視研究科學技術和實際問題為玩物喪志的錯誤看法，批評了輕視數學的習俗，表示了不計憫笑、矢志研究數學的決心。他還認為，說數學難研究是可以的，說數學不能研究，是不對的;認為數學出于自然，不能以力強窮之，若“推自然之理，以明自然之數”，則什么問題都可以解決。這些看法至今仍有教益。

《測圓海鏡》12卷，170問，取“天臨海鏡之義”，以測圓問題為核心，以天元術為主要方法。卷1是全書的預備知識和理論基礎，包括圓域圖式，總率名號，今問正數，識別雜記4部分，圓域圖式是全書的總圖，表示了圓與15個勾股形的相互位置，用天、地、乾、坤、巽、艮、日、月、山、川、東、西、南、北、心等表示點，相當于現代數學用A、B、C、D表示點，是個創舉。總率名號定義了15個勾股形：通勾股形、邊勾股形、底勾股形、黃廣勾股形、黃長勾股形、上高勾股形、下高勾股形、上平勾股形、下平勾股形、大差勾股形、小差勾股形、極勾股形、虛勾股形、明勾股形、叀勾股形及其各邊。今問正數則以通勾股形的勾、股、弦320、600、680為基數，給出勾、股、弦各種關系的數值。識別雜記包括692條公式，闡明各勾股形邊長之間的關系及其與圓徑的關系，分別歸于諸雜名目、五和五較、諸弦、大小差、諸差、諸率互見、四位相套及拾遺八項，這些公式經過證明，除8條外都是正確的，是為集前此中國學者關于圓與勾股形關系知識之大成。全書的其他公式、各類問題的解法均可由這些公式推出，其中諸雜名目包括了若干基本公式，尤以最后10個圓徑公式最為重要，是識別雜記乃至全書的綱。測圓問題源于《九章算術》勾股容圓問，到宋元時期，發展為一項重要的專題研究，洞淵九容就是李冶之前關于這一課題的成果，九容是關于勾上容圓、股上容圓、弦上容圓、勾股上容圓、勾外容圓、股外容圓、弦外容圓、勾外容圓半、股外容圓半9種情況下圓徑與勾股形三邊的關系公式(也有人認為包括勾股容圓而無弦上容圓)。本書便是在洞淵九容基礎上演繹出來的，其卷2便介紹了以上10種容圓的圓徑公式。卷3-10，依次依邊股、底勾、大股、大勾、明叀前、明叀后、大斜、大和、三事和配各事形成了不同的題目。卷11是綜合題目，卷12為“之分”。自卷2-12凡170問都是求圓徑問題，且答案亦同。各題分題目、答、法、草4部分。法列出解法，主要是開方式即一元方程，草則說明解法的推導過程，主要用天元術。

天元術是本書解題的主要方法，也是本書現在備受重視的原因所在。所謂天元術就是設未知數列方程的方法：先設某為天元一(相當于現今設某為未知數x)，然后根據問題的條件，列出兩個等價的天元式即多項式，將此兩天元式如積相消，便得到一個開方式即今之一元二次或高次方程。這實際上是一種半符號代數學。從本書可以看出，李冶已熟練地掌握了多項式的加、減、乘、除(只限于除數為單項式)。天元式的表示法是在未知數右側記一“元”字，或在常數項旁記一“太”字，未知數的其他冪次則分列于“元”或“太”之上下，依位置定其冪次。天元術產生于何時，書簡有缺，難以詳考，其記法也有一個發展過程。據李冶說，最初人們用人表示常數項，人之上“天、……仙”9個字表示未知數的正冪，人之下“地、……鬼”9個字表示其負冪。李冶時代有古法圖式：以太代替人表示常數項，省去天、地之外的各字，以天元在上表示正冪，地元在下表示負冪，又有今法圖式：天元在下表示正冪，地元在上表示負冪。李冶處于天元式記法簡化及由古法向今法過渡的階段。他在本書中用古法，但取消表示負冪的地元，確定了元或太之后，其余冪次皆由其與元(或太)的相對位置決定。如1、2元3、4便表示x2+2x+3+4x-1，這是李冶的貢獻。后來在《益古演段》中他又改用今法，即高次冪在下。

對本書的開方法李治沒明確說明。數學史界公認是用增乘開方法。他的開方式的系數可正、可負，可以是小數，也可以是分數，且沒有常數項水遠為負的限制。本書在開方中也處理了常數項變號與絕對值增大的情況，分別稱為翻法(或倒積)與益積，前者相當于秦九韶的“換骨”，后者相當于“投胎”。本書中十進小數的概念，也十分明確，也以名數單位起小數點的作用。

參考文獻

• 1.蘇天爵:《國朝名臣事略》。
• 2.李儼:《測圓海鏡研究歷程考》,《中算史論叢》第4集,科學出版社,1956。
• 3.梅榮照:《李冶及其數學著作》,《宋元數學史論文集》,科學出版社,1966。
• 4.孔國平:《李冶傳》,河北教育出版社,1988。