彭加勒不該對(duì)研究病態(tài)函數(shù)進(jìn)行指責(zé)

十九世紀(jì)下半葉，人們先后發(fā)現(xiàn)了許多希奇古怪的函數(shù)。1854年，狄利克雷提出了一個(gè)在無理點(diǎn)取0，在有理點(diǎn)取1的函數(shù)，它是非黎曼可積的。1860年Z.Zellerrer和1872年魏爾斯特拉斯先后各自提出了一個(gè)處處連續(xù)而又處處不可導(dǎo)的函數(shù)。1875年，達(dá)布又證明了有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)也可以積分，只要這些間斷點(diǎn)能包含在長度可以任意小的有限個(gè)區(qū)間內(nèi)即可。1887年，沃爾特拉作出了一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)是有界的但卻不是黎曼可積的，這又大大限制了微積分基本定理的適用范圍。這些函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)與人們期望的相去甚遠(yuǎn)，而且也極大地破壞了古典數(shù)學(xué)的完美，因此被人們稱為病態(tài)函數(shù)。

當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為這些函數(shù)是脫離實(shí)際的，完全沒有必要研究。大數(shù)學(xué)家彭加勒(H.Poincar'e，1854—1912)說：“過去人們?yōu)榱艘粋€(gè)實(shí)際的目的而創(chuàng)造一個(gè)新的函數(shù);今天人們?yōu)榱苏f明先輩在推理方面的不足而故意造出這些函數(shù)來。而從這些函數(shù)所能推出來的也就是僅此而已。”“它們被弄得愈來愈不象那些能解決問題的真正函數(shù)。”事實(shí)證明是彭加勒錯(cuò)了。法國數(shù)學(xué)家勒貝格創(chuàng)立的勒貝格積分就是在對(duì)病態(tài)函數(shù)研究的基礎(chǔ)上提出的，它導(dǎo)致了積分學(xué)的一場(chǎng)革命，直接導(dǎo)致了實(shí)變函數(shù)論的產(chǎn)生，而且在概率論、譜理論、泛函分析、熱學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)和控制論中有廣泛而深刻的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)的這段歷史表明，當(dāng)科學(xué)家對(duì)某一研究對(duì)象還不甚理解時(shí)，最好不要急于表態(tài)反對(duì)一氣，那不僅害人也害己。